Математика - набор вымышленных объектов, поведение которых иногда совпадает с поведением реальных объектов. В этом предсказательная сила математики.
Математики не существует. Это набор идеальных объектов.
Математика - от процесса отделяются количественные свойства и дальше с ними работают, как с самостоятельными сущностями (Декарт).
Несмотря на то, что математические объекты (числа, функции, геометрические фигуры и т.д.) являются объектами вымышленными, их поведение в некоторых случаях совпадает с поведением объектов и процессов реального мира (можно наложить на реальные объекты).
Математическое моделирование - реальный объект заменяется упрощенной схемой.
За счет этого математическая модель позволяет предсказать поведение реального объекта. Изучать внутреннюю структуру объекта, опираясь на известные законы, когда реального объекта не существует (при проектировании - пока не существует) или к нему сложно или невозможно подобраться.
Чистая математика не имеет наполнения.
Неважно, чего "два". Два тюленя или два оленя. Просто "два" - абстрактный объект.
Неважно, чего "треугольник". Треугольная крыша, или треугольное окно. Просто "треугольник" - вымышленный идеальный абстрактный объект.
Наполнение мы задаём позже. Накладываем вымышленные идеальные абстрактные объекты на реальные предметы или процессы.
Любой объект имеет свойства. Отделяем от объекта или процесса какие-то свойства, которые можно измерить количественно, и работаем с ними в отрыве от объекта.
Математика - работа со свойствами объекта или процесса.
Наука: никто не знает, как устроен наш мир. Наука - набор предположений о том, как связаны явления (гипотезы). Обобщая многочисленные наблюдения, выводятся общие законы. Новые гипотезы включают в себя старые, как частные случаи.
Идея науки и научного метода:
1) Вводятся параметры.
2) Вводятся единицы измерения параметров.
3) Проводят контролируемый процесс, изменяя и измеряя параметры.
4) Ищутся закономерности между параметрами. На глазок, накладывая на какую-то подобранную кривую или подвязывая к известным ранее законам.
Огромное количество научных открытий было сделано методом тыка или случайно.
5) Применяя математический анализ, ищется дополнительная информация об приросте процесса. Об интенсивности прироста. Об суммарном приросте в результате воздействия каких-то причин.
6) В идеале нужно подобрать аналитическую функцию для описания процесса. Прелесть аналитической записи закона - работаем с одной точкой (или с двумя) , а распространяется это на всю область определения. Аналитическая функция - весьма экономичная запись процесса; достаточно формулы, описывающей процесс при всех возможных значениях параметра. Ей не нужны громоздкие таблицы.
Функция - набор состояний процесса или объекта (непрерывный, в каждой точке). Ничто не мешает задать состояние процесса в отдельные моменты - таблично.
Неформальное объяснение:
f(x) - процесс
x - управляющий параметр
dx - изменение управляющего параметра
df(x) - изменение процесса
df(x)/dx - прирост
f(x)dx -
∫f(x)dx - сумма приростов
df(x)/dx = g(z) - прирост и причина, вызывающая прирост.
Математический анализ - набор инструментов для работы с закономерностями.
Вселенная развивается по закономерностям. Если бы не было закономерностей, наш мир был бы хаотичен и существование сложных структур (атомов, планет, человека) было бы невозможно (антропный принцип).
Изучение природы возможно благодаря нескольким фактам:
1) При изменении системы не происходит резких скачков параметров. Это делает возможным описание системы плавной кривой (Пуанкаре).
2) Статистическое выравнивание большого числа случайных параметров, действующих независимо.
3) Пренебрежимо малое влияние систем друг на друга на большом расстоянии.
4) В мире всё зависит от всего. Но некоторые процессы управляются небольшим числом доминирующих факторов. Другие факторы влияют на протекание процесса пренебрежимо слабо.
5) В всей вселенной (видимой ее части) действуют одинаковые законы. На Земле, на Луне, на Альфа-Центавре, в Америке, в Африке, в Питере, в Нью-Йорке яблоко будет падать по одному и тому же закону.
PS. Несмотря на то, что вселенная развивается по закономерностям, случайности в ней присутствуют (неопределенность в микромире, задача трёх тел и тп).
В реальном мире можно наблюдать следующие структуры:
1) Точечные.
Точечные структуры образуются, когда поведение системы сильно зависит от небольшого числа параметров, влияние же остальных пренебрежимо мало.
Изучаемые части точечных структур локализованы в объеме, пренебрежимо малом относительно объема, занимаемого всей остальной структурой.
Инструментарий: для моделирования точечных структур хорошо работает классическая математика Ньютона, хотя некоторые задачи в ее рамках неразрешимы (напр. Задача многих тел).
Задачи: планеты, механизмы.
2) Распределенные однородные.
Распределенные однородные структуры не локализованы в малом объеме, но их свойства однородны во всем занимаемом объеме.
Инструментарий: для моделирования распределенных однородных структур потребовалось создание векторного и тензорного анализов, хотя некоторые задачи в ее рамках неразрешимы (напр. уравнение Навье-Стокса).
Задачи: динамика жидкости, электромагнитное поле, поле механических напряжений в однородном материале.
3) Распределенные статистические.
Система состоит из очень большого числа элементов. Поведение каждого элемента структуры предсказать трудоёмко, но за счет большого числа элементов поведение всей системы усредняется по пространству, и моделирование становится возможным.
Инструментарий: статистическая физика.
Задачи: газовые законы.
4) Точечные статистические.
Поведение элемента точечной статистической структуры непредсказуемо при единичном измерении, но при большом числе измерений усредняется во времени, и моделирование становится возможным.
Инструментарий: уравнение Шредингера.
Задачи: атомные ядра.
5) Неоднородные неточечные нераспределенные нестатистические структуры.
Инструментарий: подвижные клеточные автоматы с возможностью превращения элементов.
Задачи: взрывы, дробление, разрушение неоднородного материала; перемешивание многофазных сред с переходом фаз одна в другую; закипание жидкости; обтекание с разрывом поверхности; распространение электромагнитных полей в сложных неоднородных средах с учетом поглощения и отражения.
Особенности: требуются высокие вычислительная мощности.Математический анализ - набор инструментов для работы с закономерностями.
Идея математического анализа состоит в следующем: при малом изменении управляющих параметров (аргументов) вводится допущение, что управляемый процесс (функция) изменяется "равномерно и прямолинейно".
А также, что на малом участке (промежутке) управляющий процесс (аргумент) остается постоянным.
Что такое интеграл (анимация).
Интеграл - искусственно сконструированная кривая, показывающая постепенный рост площади под другой кривой (от нуля и дальше).
Интеграл - оператор. Из одной кривой получается другая кривая (по определенным правилам).
Интеграл - кривая "накопления" площади под другой кривой.
Интеграл - прирост функции на малом участке. Далее - сумма этих приростов.
Интегрирование - двойная операция. Идет перемножение функции и интервала изменения по всей области определения. И тут же они складываются.
Интеграл - замена кривой линии горизонтальной прямой линией на малом участке. При изменении аргумента функция не меняется на малом участке.
Кусочек, не вписавшийся в кривизну, есть погрешность.
Обобщённая площадь - вместо площади может быть что угодно, что должно перемножаться и одновременно "копиться" - масса, заряд, объем и тп.
Применяется, когда необходимо вычислить суммарное воздействие эффекта.
Нахождение интеграла аналитической кривой не имеет алгоритма (в отличие от нахождения производной). Первообразную функцию можно только угадать (а потом проверить, чтобы при ее дифференцировании получалась исходная кривая). Либо считать интеграл численными методами.
Для аналитических кривых, первообразную которых невозможно угадать, разработан обширный инструментарий для замены неинтегрируемой кривой более простой кривой (аппроксимация многочленами, рядами Тейлора, рядами Фурье и т п).
Что такое интеграл (анимация) с сеткой.
Показано более подробное вычисление площади под кривой с цифрами.
Как вычислять площадь под кривой? На самом деле - без разницы. Разбиение на прямоугольники разной высоты; разбиение на бесконечно тонкие прямоугольники (математический анализ); использование курвиметра, интегрографа, школьной палетки; вписывание трапеций, параболических трапеций и так далее - всё это всего-навсего различные методы вычисления интеграла.
Теорема Ньютона-Лейбница (анимация).
Формула Ньютона-Лейбница вычисляет площадь под участком кривой. Равна разности первообразных на этом участке.
Первообразная показывает площадь под исходной кривой от начальной координаты (например от нуля) до той координаты, которая нам интересна.
Для вычисления площади из большей первообразной отнимаем меньшую первообразную (из большей плошади вычитаем меньшую площадь).
Формула применяется, когда необходимо вычислить суммарное воздействие эффекта в определенном диапазоне.
Что такое производная функции (анимация).
Любой процесс во вселенной зависит от некоторых "управляющих параметров" и постоянно изменяется.
Даже если процесс не изменяется - он "живет" во времени и изменяется относительно времени (надо подождать). Время - это тоже своеобразный управляющий параметр (изменение процесса во времени - ожидание).
Производная - искуственно сконструированная кривая, показывающая прирост процесса относительно прироста управляющего параметра.
Для определения прироста процесса относительно прироста управляющего параметра применяется производная.
При дифференцировании кривая линия заменяется на малом участке касательной прямой. Плавное равномерное изменение аргумента приводит к плавному равномерному изменениию функции (линеаризация). Кусочек, не вписавшийся в равномерный подъем, есть погрешность.
Пусть идет процесс. Мы можем пошевелить управляющий параметр, измерить старое состояние процесса и новое (полученное в результате шевеления) и сравнить их.
Дифференцирование - двойная операция. Ищется изменение процесса при изменении интервала. И тут же сравниваются старые значения и новые.
"Производная" - неудачный термин. Лучше применять термин "кривая прироста".
Дифференциал функции.
На малом участке при плавном равномерном изменении управляющего параметра процесс тоже считается меняющимся плавно и равномерно.
Плавный равномерный прирост процесса есть дифференциал.
Производная применяется, когда нужно определить, насколько "интенсивно" развивается процесс, реагируя на управляющие воздействия.
Видео не совсем точное - надо разделить ёрзание функции Y на ёрзанье аргумента X и брать ёрзания очень маленькими (чем меньше бегунок, тем точнее нарисуется производная; в идеале переходим к бесконечно малому бегунку).
Цель видео - дать первоначальное интуитивное представление о том, как работает производная. Если бегунок =1, то делить Y на X необязательно. Таким образом можно быстро и на глазок прикинуть производную.
Часто можно услышать, что производная это скорость изменения функции. Данный термин неудачный, так как "скорость" это изменение параметра относительно времени. Меняться же параметр может в зависимости от чего угодно (от поворота ручки, от изменения концентрации реагентов, от изменения геометрии и т д).
Лучше пользоваться термином "прирост".
Нахождение производной аналитической функции имеет четкий алгоритм (в отличие от интеграла).
Дифференцирование - ремесло, интегрирование - искусство.
Также ничего не мешает искать производную аналитической функции численными методами.
Как быстро, на глазок и без компьютера прикинуть производную кривой?
1)Разбиваем кривую на одинаковые участки единичной длины (!!! это важно).
2) Смотрим, насколько возрастает кривая на каждом участке.
3) Откладываем все возрастания на вышележащем графике.
4) Profit.
Как связаны интегрирование и дифференцирование?
Интегрирование - перемножение шага разбиения на функцию - получаем площадь прямоугольника (площадь прямоугольника равна приросту функции). Затем складываем приросты.
Дифференцирование - деление площади прямоугольника (вертикального отрезка - прироста) на шаг.
Таким образом, интегрирование и дифференцирование - взаимно обратные операции.
PS. С дифференциалами можно работать как с обычными числами (доказывается в нестандартном анализе).
Дифференциальное уравнение.
Встречаются ситуации, когда зависимость между переменными величинами, участвующими в рассмотрении задачи, не может быть установлена.
Но возможно найти зависимость между приростами этих переменных.
На малом участке прирост допускается постоянным (усредненным). Для этого участка составляется алгебраическое уравнение, описывающее равномерно протекающее явление.
Затем, складывая приросты, получаем закон процесса.
Изучается неравномерное "движение". Но на малом участке "движение" допускается как прямолинейное и равномерное.
"Скорость" этого движения допускается как равномерная.
На малом участке составляется алгебраическое уравнение "движения".
Идея дифференциального уравнения:
Идет процесс. Процесс получет приросты. Приростами управляет закон.
1) Приравниваем приросты и закон (смотрим, как закон управляет приростами).
2) Складываем приросты, получаем закон изменения.
На малом участке (временном или каком-нибудь еще) процесс считается идущим равномерно. Изменяется с постоянным приростом.
Это позволяет применять законы, описывающие равномерно протекающие явления.
Линеаризация: замена функций на малых промежутках изменения аргумента линейными функциями.
Идёт процесс. Процесс зависит от какого-то параметра (время, поворот ручки). Измеряем состояние процесса и состояние управляющего параметра.
1) Немного "сдвигаем" процесс. Ждем немного, или немного поворачиваем ручку.
2) Замеряем начальное и конечное состояние процесса и управляющего параметра.
3) Сравниваем предыдущее и чуть-чуть сдвинутое сиюминутное состояние процесса и управляющего параметра.
4) Рассчитываем отношение сравненных состояний процесса и управляющего параметра (производная).
5) Выясняем причину, управляющую управляющим параметром.
Составление дифференциального уравнения:
Дифференциальное уравнение - это производная с условием. Некоторый закон является причиной прироста.
1) Предположим, что мы уже нашли искомую зависимость Y от X.
2) Смотрим, где нам нужен прирост Y от X.
3) Записываем закон, управляющий приростом.
4) Складываем приросты и получаем окончательную зависимость Y от X.
1) "Вырезаем" из процесса маленький участок. Участок не обязан быть бесконечно малым (бесконечно малый участок - всего лишь частный случай).
2) На этом участке считаем процесс линеаризованным.
Например: Сила на малом участке пути постоянна (усреднена), хотя на всём пути она переменна.
Стенка кривого сосуда на малой высоте постоянна (одного диаметра, усреднённого), хотя по всей высоте она кривая.
3) Составляем алгебраическое уравнение для малого участка.
4) С помощью интегрирования "собираем" значение интересующего нас параметра на всей области определения.
5) Либо "собираем" значение параметра численными методами.
PS. Необходима "опорная" непрерывная функция, с которой начинается разбиение на ступеньки. Обычно это закон природы.
------------------------------------------------------------------------------------
1) Смотрим, какой закон (что от чего) нам нужен. Но он нам пока неизвестен.
2) Смотрим, где у него идет прирост.
3) Смотрим, что является причиной прироста.
4) Складываем приросты, получаем нужный нам закон.
------------------------------------------------------------------------------
1) Смотрим причину-следствие. Не обязательно записывать формулами, достаточно записать словами. Математика - укороченная запись обычных слов. Во времена Декарта не было математической нотации; уравнения и выражения записывали словами.
2) Смотрим, какая причина вызывает какое следствие.
3) Предположим, что причина на малом участке постоянна.
4) Смотрим, какое следствие она вызывает. Какая причина вызывает следствие. Как причина управляет следствием.
5) Смотрим, как переменная причина вызывает переменное следствие.
6) Примеры:
• В задачах вытекания воды.
Сила давления воды, зависящая от высоты (но постоянная-усредненная на малом участке) управляет скоростью вытекания воды (постоянная на малом участке).
При изменении высоты уровня изменяется скорость вытекания воды.
• В задачах на закон притяжения.
Скоростью тела (равномерная и прямолинейная на малом участке) управляет сила между объектами (постоянная на малом участке и зависит от расстояния, растущем прямолинейно и равномерно).
• В задачах на теплопередачу. Потоком тепла (постоянный на малом участке) управляет разность температур (постоянная-усредненная на малом участке).
Переменным потоком тепла управляет переменная разность температур.
• В задаче об оптимальной форме столба (максимальная нагрузка при минимальном материале). Возрастающая нагрузка (постоянная-усредненная на малом участке) управляет сечением столба (постоянном-усредненном на малом участке).
