Математика - набор вымышленных объектов, поведение которых (свойства и взаимосвязи, т.е. как одни параметры влияют на другие) иногда совпадает с поведением реальных объектов. В этом предсказательная сила математики. За счет этого математическая модель позволяет предсказать поведение реального объекта. Например, фасад крыши дома можно заменить вымышленным треугольником, свойства которого более-менее совпадают с реальным фасадом, и предсказать, сколько краски потребуется для окрашивания его площади, чтобы не тратить деньги на лишнюю краску или не ездить на рынок несколько раз.
Математическое моделирование - реальный объект заменяется упрощенной схемой.
Математики не существует. Это набор идеальных объектов, идеальный математический мир Платона, в котором работает математика; реальный мир является лишь его тенью, в котором математические свойства, как следствие, также проявляются.
Математика - от процесса отделяются количественные свойства и дальше с ними работают, как с самостоятельными сущностями (Декарт). Несущественные свойства могут только отвлекать от изучения связей. Например, при подсчете объема шара его цвет или материал значения не имеет.
Математика - язык. Понятия, процессы, количества, рассуждения, параметры и действия с ними заменяются укороченной упрощенной записью с помощью букв, графиков, уравнений и т.п. В стародавние времена не было математической нотации, цифры и действия с ними записывались словами. Но это не помешало сделать множество открытий, просто это было неудобно. Обнаружить в укороченной записи закономерности проще, чем в тексте.
Несмотря на то, что математические объекты (числа, функции, геометрические фигуры и т.д.) являются объектами вымышленными, их поведение в некоторых случаях совпадает с поведением объектов и процессов реального мира (можно наложить на реальные объекты).
На практике математика позволяет, например, изучать внутреннюю структуру объекта, опираясь на известные законы, когда реального объекта не существует (при проектировании - пока не существует) или к нему сложно или невозможно подобраться (например недра звезд или планет).
Чистая математика не имеет наполнения.
Неважно, чего "два". Два тюленя или два оленя. Просто "два" - абстрактный объект.
Неважно, чего "треугольник". Треугольная крыша, или треугольное окно. Просто "треугольник" - вымышленный идеальный абстрактный объект.
Наполнение мы задаём позже. Накладываем вымышленные идеальные абстрактные объекты на реальные предметы или процессы.
При изучении процесса важно попытаться придумать его математическую формулировку, даже если она не совпадет с экспрериментом, для начала. Сделать оценку, возможность параметризации. Важное умение инженера - перевести задачу на язык математики.
Зная одни закономерности, извлекаем информацию о других закономерностях.
Затем работаем с данными и пытаемся высосать из них закономерности: может быть нанести на график, фазовую диаграмму, объединение нескольких параметров в один и анализ его поведения (например энтропия) и т.п.
Любой объект имеет свойства. Отделяем от объекта или процесса какие-то свойства, которые можно измерить количественно, и работаем с ними в отрыве от объекта.
Математика - работа со свойствами объекта или процесса и поиск закономерностей между ними.
Наука: никто не знает, как устроен наш мир. Наука - набор предположений о том, как связаны явления (гипотезы). Обобщая многочисленные наблюдения, выводятся общие законы (матемаические модели). Новые гипотезы включают в себя старые, как частные случаи.
Математическая модель может работать при неправильной физической модели. Например, закон Ома I=U/R - это закон течения электрической жидкости, где I - расход злектрической жидкости, U - разность давлений электрической жидкости на кондах провода, R - размер пор и пустот в проводнике (чем больше поры, тем меньше сечения металла остается для прохождения электрической жидкости и тем выше сопротивление).
Физика - очень динамически изменяющаяся наука, которая постоянно меняет и совершенствует свои модели. Никто не гарантирует, что через 100 лет выяснится, что электронов не существует, и они будут заменены другой более полной и удобной моделью.
Идея науки и научного метода:
1) Вводятся параметры, наиболее существенно влияющие на задачу (параметризация).
2) Вводятся единицы измерения параметров.
3) Проводят контролируемый процесс, изменяя и измеряя параметры.
4) Ищутся закономерности между параметрами. На глазок, накладывая на какую-то подобранную кривую или подвязывая к известным ранее законам.
Огромное количество научных открытий было сделано методом тыка или случайно.
5) Применяя математический анализ, ищется дополнительная информация об приросте процесса. Об интенсивности прироста. Об суммарном приросте в результате воздействия каких-то причин.
6) В идеале нужно подобрать аналитическую функцию для описания процесса. Прелесть аналитической записи закона - работаем с одной точкой (или с двумя) , а распространяется это на всю область определения. Аналитическая функция - весьма экономичная запись развития процесса; достаточно формулы, описывающей процесс при всех возможных значениях параметра. Ей не нужны громоздкие таблицы.
Функция - набор состояний процесса или объекта (непрерывный, в каждой точке). Ничто не мешает задать состояние процесса в отдельные моменты - таблично. Функция - инструкция, что делать с процессом в каждой точке "пространства".
Функция - закон изменения одной величины в зависимости от другой.
Неформальное объяснение:
f(x) - процесс
x - управляющий параметр
dx - изменение управляющего параметра
df(x) - изменение процесса
df(x)/dx - прирост
f(x)dx -
∫f(x)dx - сумма приростов
df(x)/dx = g(z) - прирост и причина, вызывающая прирост.
Весь мир работает в основном на двух функциях: синус и экспонента. Синус - многочисленные колебательные процессы; экспонента - когда рост количества пропорционален самому количеству (Садовничий).
Математический анализ - набор инструментов для работы с закономерностями.
Вселенная развивается по закономерностям. Если бы не было закономерностей, наш мир был бы хаотичен и существование сложных структур (атомов, планет, человека) было бы невозможно (антропный принцип).
Вселенная состоит из кварков или суперструн (принятая на 2023 год модель, которая в будущем будет заменена на другие более совершенные модели, включающие старые модели как частный случай). Законы вселенной - интегральные характеристики поведения кварков. Можно рассматривать кварки как клеточные автоматы. Устойчивые структуры (на манер глайдеров или мигалок в игре "Жизнь") воспринимаются человеком как законы природы. Некоторые наиболее простые законы природы "лежащие на поверхности" были зафиксированы человеком на глазок или с помощью примитивных приборов в первую очередь.
Изучение природы возможно благодаря нескольким фактам:
1) При изменении системы не происходит резких скачков параметров. Это делает возможным описание системы плавной кривой (Пуанкаре). Например, Кеплер замерил местонахождение Марса в нескольких точках и соединил траекторию плавной кривой, а не мерил 10 тыс точек. Очень хорошо, что во времена Кеплера не было хороших телескопов. Иначе были бы замечены отклонения орбит планет от идеальных эллипсов и выведение законов движения планет оказалось бы затруднительно.
2) Статистическое выравнивание большого числа случайных параметров, действующих независимо.
3) Пренебрежимо малое влияние систем друг на друга на большом расстоянии.
4) В мире всё зависит от всего. Но некоторые процессы управляются небольшим числом доминирующих факторов. Другие факторы влияют на протекание процесса пренебрежимо слабо. Например, световое давление от звезды Альфа-Центара влияет на орбиту Марса, но оно настолько ничтожно, что им можно пренебречь.
5) В всей вселенной (видимой ее части) действуют одинаковые законы. На Земле, на Луне, на Альфа-Центавре, в Америке, в Африке, в Питере, в Нью-Йорке яблоко будет падать по одному и тому же закону.
PS. Несмотря на то, что вселенная развивается по закономерностям, случайности в ней присутствуют (неопределенность в микромире, задача трёх тел и тп).
В реальном мире можно наблюдать следующие структуры:
1) Точечные.
Точечные структуры образуются, когда поведение системы сильно зависит от небольшого числа параметров, влияние же остальных пренебрежимо мало.
Изучаемые части точечных структур локализованы в объеме, пренебрежимо малом относительно объема, занимаемого всей остальной структурой.
Инструментарий: для моделирования точечных структур хорошо работает классическая математика Ньютона, хотя некоторые задачи в ее рамках неразрешимы (напр. Задача многих тел).
Задачи: планеты, механизмы.
2) Распределенные однородные.
Распределенные однородные структуры не локализованы в малом объеме, но их свойства однородны во всем занимаемом объеме.
Инструментарий: для моделирования распределенных однородных структур потребовалось создание векторного и тензорного анализов, хотя некоторые задачи в ее рамках неразрешимы (напр. уравнение Навье-Стокса).
Задачи: динамика жидкости, электромагнитное поле, поле механических напряжений в однородном материале.
3) Распределенные статистические.
Система состоит из очень большого числа элементов. Поведение каждого элемента структуры предсказать трудоёмко, но за счет большого числа элементов поведение всей системы усредняется по пространству, и моделирование становится возможным.
Инструментарий: статистическая физика.
Задачи: газовые законы.
4) Точечные статистические.
Поведение элемента точечной статистической структуры непредсказуемо при единичном измерении, но при большом числе измерений усредняется во времени, и моделирование становится возможным.
Инструментарий: уравнение Шредингера.
Задачи: атомные ядра.
5) Неоднородные неточечные нераспределенные нестатистические структуры.
Инструментарий: подвижные клеточные автоматы с возможностью превращения элементов.
Задачи: взрывы, дробление, разрушение неоднородного материала; перемешивание многофазных сред с переходом фаз одна в другую; закипание жидкости; обтекание с разрывом поверхности; распространение электромагнитных полей в сложных неоднородных средах с учетом поглощения и отражения.
Особенности: требуются высокие вычислительная мощности.Математический анализ - набор инструментов для работы с закономерностями.
Идея математического анализа состоит в следующем: при малом изменении управляющих параметров (аргументов) вводится допущение, что управляемый процесс (функция) изменяется "равномерно и прямолинейно" - дифференциал.
На малом участке (промежутке) управляющий процесс (аргумент) меняется плавно, а зависимые переменные не меняются. На малом участке процесс идет равномерно. Сложный процесс разбивается на простые.
Что такое интеграл (анимация).
Интеграл - искусственно сконструированная кривая, показывающая постепенный рост площади под другой кривой (от нуля и дальше).
Интеграл - оператор. Из одной кривой получается другая кривая (по определенным правилам).
Интеграл - кривая "накопления" площади под другой кривой.
Интеграл - прирост функции на малом участке. Далее - сумма этих приростов.
Интегрирование - двойная операция. Идет перемножение функции и интервала изменения по всей области определения. И тут же они складываются.
Интеграл - замена кривой линии горизонтальной прямой линией на малом участке. При изменении аргумента функция не меняется на малом участке.
Кусочек, не вписавшийся в кривизну, есть погрешность о-малое. Плошадь под невписавшейся в прямоугольник областью равна погрешности между дифференциалом и истинным значением производной.
Обобщённая площадь - вместо площади может быть что угодно, что должно перемножаться и одновременно "копиться" - масса, заряд, объем и тп.
Применяется, когда необходимо вычислить суммарное воздействие эффекта.
Нахождение интеграла аналитической кривой не имеет алгоритма (в отличие от нахождения производной). Первообразную функцию можно только угадать (а потом проверить, чтобы при ее дифференцировании получалась исходная кривая). Либо считать интеграл численными методами.
Для аналитических кривых, первообразную которых невозможно угадать, разработан обширный инструментарий для замены неинтегрируемой кривой более простой кривой (аппроксимация многочленами, рядами Тейлора, рядами Фурье и т п).
При интегрировании делается допущение, что аргумент меняется равномерно, а функция не меняется на малом участке. Первообразная (как площадь прямоугольника при перемножении изменения аргумента на постоянную функцию) при этом растет равномерно и прямолинейно (катет прямоугольного треугольника).
Что такое интеграл (анимация) с сеткой.
Показано более подробное вычисление площади под кривой с цифрами.
Как вычислять площадь под кривой? На самом деле - без разницы. Разбиение на прямоугольники разной высоты; разбиение на бесконечно тонкие прямоугольники (математический анализ); использование курвиметра, интегрографа, школьной палетки; вписывание трапеций, параболических трапеций и так далее - всё это всего-навсего различные методы вычисления интеграла.
Теорема Ньютона-Лейбница (анимация).
Формула Ньютона-Лейбница вычисляет площадь под участком кривой. Равна разности первообразных на этом участке.
Первообразная показывает площадь под исходной кривой от начальной координаты (например от нуля) до той координаты, которая нам интересна.
Для вычисления площади из большей первообразной отнимаем меньшую первообразную (на оси ординат показывается рост площади под кривой, следовательно чтобы узнать площадь под участком кривой надо из большей ординаты вычесть меньшую).
Формула применяется, когда необходимо вычислить суммарное воздействие эффекта в определенном диапазоне.
Что такое производная функции (анимация).
Очень важной характеристирой процесса является скорость его изменения, быстрота изменения, насколько процесс изменяется на участке, насколько он прирастает за какое-то время. Насколько "интенсивно" идет процесс на участке в зависимости от управляющего параметра.
Насколько функция чувствительна к небольшим изменениям аргумента.
Примеры.
* При механическом движении: насколько интенсивно изменяется пройденное расстояние в зависимости от времени. Данная характеристика имеет спецтермин: скорость.
* Вычисление площади криволинейной трапеции: насколько сильно изменяется площадь фигуры при продвижении от начала координат и дальше. Это не что иное как высота криволинейной трапеции.
Любой процесс во вселенной зависит от некоторых "управляющих параметров" и постоянно изменяется.
Даже если процесс не изменяется - он "живет" во времени и изменяется относительно времени (надо подождать). Время - это тоже своеобразный управляющий параметр (изменение процесса во времени - ожидание).
Производная - искуственно сконструированная кривая, показывающая прирост процесса относительно прироста управляющего параметра.
Для определения прироста процесса относительно прироста управляющего параметра применяется производная.
При дифференцировании кривая линия заменяется на малом участке касательной прямой. Плавное равномерное изменение аргумента приводит к плавному равномерному изменениию функции (линеаризация). Кусочек, не вписавшийся в равномерный подъем, есть погрешность.
Пусть идет процесс. Мы можем пошевелить управляющий параметр, измерить старое состояние процесса и новое (полученное в результате шевеления) и сравнить их.
Дифференцирование - двойная операция. Ищется изменение процесса при изменении интервала. И тут же сравниваются старые значения и новые.
"Производная" - неудачный термин. Лучше применять термин "кривая прироста". Или "поверхность прироста" в случае функции двух переменных. Или многомерный линеаризованный "объем прироста" в случае многих переменных (тут надо включить воображение). Понятие мгновенной скорости в точке при стремлении участка к нулю достаточно неинтуитивно.
Дифференциал функции.
На малом участке при плавном равномерном изменении управляющего параметра процесс тоже считается меняющимся плавно и равномерно. Упрощенная производная. В отдичие от производной, которая определяется по двум точкам, дифференциал определяется как "движение" по касательной из одной точки.
Плавный равномерный прирост процесса есть дифференциал.
В приложениях дифференциал: процесс меряется в двух точках и между ними допускается равномерным. Изменение процесса пропорционально изменению управляющего параметра.
Производная применяется, когда нужно определить, насколько "интенсивно" развивается процесс, реагируя на управляющие воздействия.
Очень важной характеристикой процесса, влияющий на многие следствия, является то, насколько быстро (или интенсивно) происходит изменение процесса.
Видео не совсем точное - надо разделить ёрзание функции Y на ёрзанье аргумента X и брать ёрзания очень маленькими (чем меньше бегунок, тем точнее нарисуется производная; в идеале переходим к бесконечно малому бегунку).
Цель видео - дать первоначальное интуитивное представление о том, как работает производная. Если бегунок =1, то делить Y на X необязательно. Таким образом можно быстро и на глазок прикинуть производную.
Часто можно услышать, что производная это скорость изменения функции. Данный термин неудачный, так как "скорость" это изменение параметра относительно времени. Меняться же параметр может в зависимости от чего угодно (от поворота ручки, от изменения концентрации реагентов, от изменения геометрии и т д).
Лучше пользоваться термином "прирост".
Нахождение производной аналитической функции имеет четкий алгоритм (в отличие от интеграла).
Дифференцирование - ремесло, интегрирование - искусство.
Также ничего не мешает искать производную аналитической функции численными методами.
Как быстро, на глазок и без компьютера прикинуть производную кривой?
1)Разбиваем кривую на одинаковые участки единичной длины (!!! это важно).
2) Смотрим, насколько возрастает кривая на каждом участке.
3) Откладываем все возрастания на вышележащем графике.
4) Profit.
Как связаны интегрирование и дифференцирование?
Интегрирование - перемножение шага разбиения на функцию - получаем площадь прямоугольника (площадь прямоугольника равна приросту функции). Затем складываем приросты.
Дифференцирование - деление площади прямоугольника (вертикального отрезка - прироста) на шаг.
Таким образом, интегрирование и дифференцирование - взаимно обратные операции.
PS. С дифференциалами можно работать как с обычными числами (доказывается в нестандартном анализе).
Монады Лейбница - числа, которые не равны нулю, но меньше всех остальных чисел. Зависимы друг от друга и пропорциональны друг другу. Например, независимая монада может быть в два раза больше зависимой, но при этом обе бесконечно малы. В 1970 году заменены гипервещественными числами в нестандартном анализе.
Дифференциальное уравнение.
Встречаются ситуации, когда зависимость между переменными величинами, участвующими в рассмотрении задачи, не может быть установлена.
Но возможно найти зависимость между приростами этих переменных.
Управляющий параметр равномерно меняется. Управляемый не меняется. Результат перемножения растет равномерно и прямолинейно.
На малом участке прирост допускается постоянным (усредненным). Для этого участка составляется алгебраическое уравнение, описывающее равномерно протекающее явление.
Затем, складывая приросты, получаем закон процесса.
Изучается неравномерное "движение". Но на малом участке "движение" допускается как прямолинейное и равномерное.
"Скорость" этого движения допускается как равномерная.
На малом участке составляется алгебраическое уравнение "движения".
Идея дифференциального уравнения:
Идет процесс. Процесс получет приросты. Приростами управляет закон.
1) Приравниваем приросты и закон (смотрим, как закон управляет приростами).
2) Складываем приросты, получаем закон изменения.
На малом участке (временном или каком-нибудь еще) процесс считается идущим равномерно. Изменяется с постоянным приростом.
Это позволяет применять законы, описывающие равномерно протекающие явления.
Линеаризация: замена функций на малых промежутках изменения аргумента линейными функциями.
Идёт процесс. Процесс зависит от какого-то параметра (время, поворот ручки). Измеряем состояние процесса и состояние управляющего параметра.
1) Немного "сдвигаем" процесс. Ждем немного, или немного поворачиваем ручку.
2) Замеряем начальное и конечное состояние процесса и управляющего параметра.
3) Сравниваем предыдущее и чуть-чуть сдвинутое сиюминутное состояние процесса и управляющего параметра.
4) Рассчитываем отношение сравненных состояний процесса и управляющего параметра (производная).
5) Выясняем причину, управляющую управляющим параметром.
Составление дифференциального уравнения:
Дифференциальное уравнение - это производная с условием. Некоторый закон является причиной прироста.
1) Предположим, что мы уже нашли искомую зависимость Y от X.
2) Смотрим, где нам нужен прирост Y от X.
3) Записываем закон, управляющий приростом.
4) Складываем приросты и получаем окончательную зависимость Y от X.
1) "Вырезаем" из процесса маленький участок. Участок не обязан быть бесконечно малым (бесконечно малый участок - всего лишь частный случай).
2) На этом участке считаем процесс линеаризованным.
Например: Сила на малом участке пути постоянна (усреднена), хотя на всём пути она переменна.
Стенка кривого сосуда на малой высоте постоянна (одного диаметра, усреднённого), хотя по всей высоте она кривая.
3) Составляем алгебраическое уравнение для малого участка.
4) С помощью интегрирования "собираем" значение интересующего нас параметра на всей области определения.
5) Либо "собираем" значение параметра численными методами.
PS. Необходима "опорная" непрерывная функция, с которой начинается разбиение на ступеньки. Обычно это закон природы или управляющее воздействие от системы управления.
------------------------------------------------------------------------------------
1) Смотрим, какой закон (что от чего) нам нужен. Но он нам пока неизвестен.
2) Смотрим, где у него идет прирост.
3) Смотрим, что является причиной прироста.
4) Складываем приросты, получаем нужный нам закон.
------------------------------------------------------------------------------
1) Смотрим причину-следствие. Не обязательно записывать формулами, достаточно записать словами. Математика - укороченная запись обычных слов. Во времена Декарта не было математической нотации; уравнения и выражения записывали словами.
2) Смотрим, какая причина вызывает какое следствие.
3) Предположим, что причина на малом участке постоянна.
4) Смотрим, какое следствие она вызывает. Какая причина вызывает следствие. Как причина управляет следствием.
5) Смотрим, как переменная причина вызывает переменное следствие.
6) Примеры:
• В задачах вытекания воды.
Сила давления воды (постоянная на малом участке, но зависит от высоты, в каждой точке высоты разная) управляет скоростью вытекания воды (равномерно растет на малом участке).
При изменении высоты уровня изменяется скорость вытекания воды.
• В задачах на закон притяжения.
Сила между объектами (постоянная на малом участке, но зависит от расстояния) управляет скоростью тела (равномерно возрастает на малом участке).
• В задачах на теплопередачу. Разность температур, разная в разных точках (постоянная на малом участке, но зависит от точки) управляет потоком тепла (плавно линейно возрастает на малом участке).
Переменным потоком тепла управляет переменная разность температур.
• В задаче об оптимальной форме столба (максимальная нагрузка при минимальном материале). Переменная возрастающая нагрузка, разная в разных точках (постоянная на малом участке, усредненная) управляет сечением столба (плавно линейно возрастает "ёршиком" на малом участке). Сечение получается разное в разных точках.
Составление дифференциального уравнения по Филлипсу. Идет процесс. Считается, что на малом участке процесс идет равномерно. Кривая заменяется прямой. Изогнутая поверхность заменяется плоской площадкой.
